espiral

Equações diferenciais ordinárias I – MAT 871

Segundo período letivo de 2016

Pré-requisitos

Ter cursado uma disciplina de equações diferenciais ordinárias, em nível de graduação, e conhecer noções básicas de álgebra linear, cálculo e análise.

Tópicos

Ementa oficial da UFMG

Bibliografia

O livro [T] está disponível em formato PDF na página do autor.

Avaliação

A avaliação no curso será baseada em três provas, um trabalho escrito e uma apresentação oral:

Lista de exercícios

Notas de aula

Palestras

Cronograma

Aula Data Tópicos Leitura Exercícios
1 Introdução. A Equação de Newton. Importância e origem de EDOs. EDO de ordem k mais geral. Conceito de solução. EDO de ordem k na forma normal. 1.1-1.2 [T] Aula 1 [pdf]
Recesso
Feriado
Exame
2 Problema de valor inicial. Sistemas de EDOs de ordem k. Transformando sistemas de ordem k em sistemas de primeira ordem. Problemas fundamentais: existência, unicidade, extensão, continuidade com respeito a parâmetros e dados iniciais. 1.1-1.2 [C] Aula 2 [pdf]
3 Enunciados dos teoremas fundamentais: existência e unicidade, dependência contínua (e diferenciabilidade), e extensão. Observações sobre as hipóteses. Condição Lipschitz. Exemplos: não-unicidade e "blow up" em tempo finito. Contrações. Teorema da contração e da contração uniforme. 1.1-1.2, 1.11 [C] Aula 3 [pdf]
4 Demonstração do teorema de existência e unicidade de soluções (incluindo continuidade com respeito ao parâmetro e ao estado inicial). 1.12 [C] Aula 4 [pdf]
5 Contrações em fibras. Teorema da contração em fibras. Demonstração do teorema de diferenciabilidade da solução com respeito ao parâmetro e o estado inicial. 1.11-1.12 [C] Aula 5 [pdf]
6 Demonstração do teorema da contração em fibras. 1.11 [C] Aula 6 [pdf]
7 O Teorema de Peano [pdf] 2.7 [T] [pdf] Aula 7 [pdf]
Feriado
8 Teorema sobre extensão de soluções. 2.6 [T], 1.11 [C] Aulas 8-9 [pdf]
9 Exemplo. Mais sobre extensão de soluções.
10 Equações autônomas. Interpretação geométrica. Soluções periódicas. Soluções de equilíbrio. Diagrama de bifurcação. 1.2-1.3 [C] Aula 10 [pdf]
11 Fluxos. Reparametrização do tempo. Estabilidade. 1.4-1.6 [C] Aula 11 [pdf]
12 Estabilidade de pontos de equilíbrio. Método da linearização. Pontos fixos hiperbólicos. 1.6 [C] Aula 12 [pdf]
13 Revisão e exercícios.
14 Equações lineares homogêneas. Desigualdade de Gronwall. Soluções globais. 2.1.1-2.1.2 [C] Aula 14 [pdf]
15 Princípio da superposição. Matriz solução. Matriz fundamental. Teorema de Liouville. 2.1.3 [C] Aula 15 [pdf]
16 Prova 1 – Solução [pdf]
Feriado
17 Comentários sobre a prova. Equações lineares com coeficientes constantes. 2.1.4 [C] Aulas 17-18 [pdf]
18 Mais sobre equações lineares com coeficientes constantes. A exponencial de uma matriz.
19 A exponencial como matriz principal. Palestra (Lucas): Existência e unicidade usando o teorema da função implícita. Aula 19 [pdf]
20 Cálculo da exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan. Aula 20 [pdf]
21 Estabilidade de sistemas lineares. 2.2 [C]
Feriado
22 Exercícios. Introdução às variedades invariantes. Variedades invariantes para sistemas lineares. 1.8.1-1.8.2 [C] Aula 22 [pdf]
23 Variedades invariantes para sistemas não-lineares. Teorema da variedade estável. Teorema de Hartman-Grobman. 4 [C] Aula 23 [pdf]
Recesso
24 Estabilidade de sistemas lineares. Sistemas lineares bidimensionais. 2.2 [C], Moodle Aula 24 [pdf]
25 Estabilidade de sistemas não-lineares (método indireto de Lyapunov). 1.6, 1.7, 2.3 [C] Aula 25 [pdf]
26 Prova 2 – Solução [pdf]
27 (9h40) Método direto de Lyapunov. Palestra: Erro cumulativo no método de Euler (Rosilene). Moodle Aula 27 [pdf]
28 (13h) Palestras: O método direto de Lyapunov aplicado à equação de Lienard (Mariana). Teorema de existência e unicidade globais para sistemas hamiltonianos (Fernando). 1.7 [C], Moodle
29 (9h40) Palestras: Teorema de Hartman-Grobman (Deisiane). Teorema de Poincaré-Bendixon (Myrla). 4.3, 1.9.2 [C]
30 (15h) Palestras: Critéro de Dulac (Jéssica). Teorema de existência e unicidade de Carathéodory (Farlei). 1.9.2 [C], Moodle
31 Palestras: Soluções periódicas. Palestras: Teorema de Floquet (Zulema). Expoentes de Lyapunov (Leonardo). Equação de Hill (Luis Felipe). 1.9, 2.4 [C], Moodle
32 Prova Substitutiva – Solução [pdf]. Entrega do trabalho escrito (até as 23h)
33 Online 1 Introdução aos problemas de valor de contorno: O problema da corda vibrante. O problema de Sturm-Liouville. 5.1-5.3 [T] Aula 28 [pdf]
34 Online 2 Existência de autovalores. Expansão em séries de autofunções. Os teoremas de Sturm. 5.4-5.5 [T] Aula 29 [pdf]