Lista de Exercícios
Geometria Analítica e Álgebra Linear
MAT 105 – Turma F


26 de junho de 2017

Esta lista contém exercícios de [1], [2] e [3]. Os exercícios estão separados em aulas.

Aula 1

1.
Sejam k e r duas retas paralelas, e seja s uma reta que intersecta a reta k em um ponto P. O que você pode concluir sobre as retas s e r? Por que?

Sugestão: Faça uma figura e lembre-se dos postulados que vimos em aula.

2.
Quais dos seguintes conjuntos de comprimentos podem ser conjuntos de comprimentos dos lados de um triângulo?
(a)
{2,2,2}.
(b)
{3,4,5}.
(c)
{5,8,2}.
(d)
{3,3,2}.
(e)
{32,5,72}.
(f)
{52,72,92}.
3.
Sejam a e b, com a < b, as coordenadas dos pontos A e B sobre um eixo E, respectivamente. Seja n um inteiro tal que n 2. Determine as coordenadas dos pontos X1,,Xn-1 que dividem o segmento de reta AB em n partes iguais.

Sugestão: Resolva o problema para algum valor de n específico, por exemplo, n = 3, e depois resolva o caso geral.

4.
Sejam a, x e b, com a < x < b, as coordenadas dos pontos A, X e B sobre um eixo E, respectivamente. Dizemos que o ponto X divide o segmento de reta AB em média e extrema razão se X satisfaz
d(A,-X-)=  d(X,B-).
d (A, B )   d(A,X )

O quociente d(A,X)∕d(A,B) é chamado razão áurea. Supondo que X divide o segmento de reta AB em média e extrema razão, calcule x em função de a e b.

Observações: (i) Procuramos x tal que a < x < b (verifique quais raízes satisfazem essa condição). (ii) Por hipótese, temos a < b. Isso implica que -b < -a. (iii) Para simplificar, considere primeiro o caso particular em que a = 0 e b = 1 (o que acontece com as raízes?).

5.
Seja O a origem de um eixo E, e seja A o ponto desse eixo cuja coordenada é igual a 1. Qual é a coordenada do ponto X que divide o segmento de reta OA em média e extrema razão? Calcule a razão áurea d(O,X)∕d(O,A).
6.
Quando A é o ponto médio do segmento de reta XX, dizemos que Xé o simétrico de X em relação ao ponto A. Os pontos A, X e Xsobre um eixo E têm coordenadas a, x e x, respectivamente. Suponha que Xé o simétrico de X em relação a A. Calcule xem função de a e x. Calcule x em função de a e x.

Aula 2

1.
Sejam k e r retas perpendiculares, e considere uma reta s perpendicular à reta r. O que você pode concluir sobre as retas k e s? Por que?

Sugestão: Faça uma figura e lembre-se dos postulados que vimos em aula.

2.
Para cada uma das equações listadas abaixo, descreva o conjunto dos pontos (x,y) cujas coordenadas satisfazem a equação.
(a)
x2 - 5x + 6 = 0.
(b)
y2 - 6y + 9 = 0.
(c)
x2 + y2 + 1 = 0.
(d)
(x2 + 1)(x - y) = 0.
3.
Em cada um dos casos listados abaixo, esboce no plano o conjunto dos pontos cujas coordenadas x e y satisfazem as condições especificadas.
(a)
|x - 3| < 1.
(b)
|x - 3| = 1.
(c)
|x - 3|≤ 1 e |y - 2|≤ 5.

Observação: Dado u , lembre que |u| < 1 significa -1 < u < 1. Mais geralmente, para qualquer valor de c, a desigualdade |u| < c significa -c < u < c.

4.
Três vértices de um retângulo são O = (0,0), A = (a,a) e B = (-b,b) com a > 0 e b > 0. Qual é o quarto vértice?

Sugestão: Faça uma figura. O que acontece quando você “anda” do ponto O para o ponto A?

Aula 3

1.
Quando B é o ponto médio do segmento de reta Y Y , dizemos que Y é o simétrico de Y em relação ao ponto B. Qual é o simétrico do ponto X = (x,y) em relação ao ponto A = (a,b)? Em particular, qual é o simétrico de X em relação à origem O?
2.
Os pontos A, B e X sobre um eixo E têm coordenadas a, b e x, respectivamente. Seja Xo simétrico de X em relação a A, e seja X′′ o simétrico de Xem relação a B. Quais são as coordenadas de Xe X′′?

Observação: A resposta deve depender dos dados do problema, que são a, b e x.

3.
Em cada um dos casos a seguir, decida se o segmento AAcorta um dos eixos, nenhum deles ou ambos. Determine o(s) ponto(s) de intersecção quando existir(em).
(a)
A = (-5,3), A= (-1,-2).
(b)
A = (2,-1), A= (7,-15).
(c)
A = (-3,-1), A= (4,2).
4.
Em cada um dos casos listados abaixo, determine (se existir) o ponto de intersecção dos segmentos AAe BB. Se os segmentos não se intersectarem, decida se os segmentos pertencem a retas concorrentes, paralelas, ou paralelas e coincidentes.
(a)
A = (1,3), A= (2,-1), B = (-1,1), B= (4,1).
(b)
A = (0,0), A= (1,1), B = (3,4), B= (-1,5).
(c)
A = (1,234), A= (0,123), B = (315,18), B= (317,240).
(d)
A = (2,5), A= (3,6), B = (18,21), B= (40,43).
5.
Dizemos que o ponto Aé o simétrico do ponto A em relação à reta r quando r é a mediatriz do segmento AA. Sabendo que A = (x,y), determine o simétrico de A em relação ao eixo OX e o simétrico de A em relação ao eixo OY .
6.
O conjunto {(x,y) 2y = 5} corresponde a uma reta paralela ao eixo OX. Seja r essa reta. Determine o simétrico do ponto P = (3,-2) em relação à reta r.

Aula 4

1.
Sejam A = (2,-5) e B = (5,-2). De um exemplo de pontos C e D tais que as retas AB e CD sejam perpendiculares.
2.
Sejam A = (2,5), B = (4,2), C = (3,4) e D = (0,y). Para qual valor de y as retas AB e CD são perpendiculares?
3.
Seja ABCD um paralelogramo. Sabe-se que A = (1,3), B = (2,5) e C = (6,4). Quais são as coordenadas do vértice D? Seja M o ponto de intersecção das diagonais AC e BD. Quais são as coordendas de M?
4.
O triângulo ABC com A = (-a,0), B = (a,0) e C = (0,y), onde a > 0, é equilátero. Quais são os possíveis valores de y?
5.
Sejam A = (a,0) e B = (0,a) com a0. Determine x de modo que o ponto C = (x,x) seja o terceiro vértice do triângulo equilátero ABC.
6.
Qual ponto do eixo OX é equidistante dos pontos (1,-3) e (3,-1)?

Aula 5

1.
Dados A = (2,5) e C = (-8,2). Calcule os cossenos dos ângulos OÂC e OĈA.
2.
Em cada um dos casos listados abaixo, decida se o triângulo ABC tem um ângulo obtuso, um ângulo reto, ou se seus três ângulos são agudos:
(a)
A = (0,0), B = (3,152), C = (-45,1).
(b)
A = (1,2), B = (2,-3), C = (4,8).
(c)
A = (2,3), B = (6,7), C = (3,10).
3.
Identifique os seguintes subconjuntos do plano por meio de suas coordenadas polares R e θ.
(a)
R = 3.
(b)
θ = 3π∕4.
(c)
R cosθ = 5.
4.
Esboce a curva descrita pelo ponto de coordenadas polares R = t e θ = 2πt quando t assume todos os valores reais positivos.

Aula 6

1.
Dado um paralelogramo ABCD, escolha um sistema de coordenadas adequado e mostre que
       2          2         2         2          2         2
d(A, B)  + d(B,C ) + d(C,D ) + d (D, A ) = d(A,C ) + d(B, D )

(a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das suas diagonais).

2.
O triângulo ABC é equilátero e seu lado mede l. Num sistema de coordenadas em que a origem é equidistante de A, B e C e o ponto C está sobre o Eixo OY , quais são as coordenadas dos três vértices?
3.
Chama-se baricentro de um triângulo ao ponto de interseção de suas medianas. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos:
(a)
A = (1,5), B = (3,2) e C = (2,4).
(b)
A = (x1,y1), B = (x2,y2) e C = (x3,y3).

Aula 7

1.
Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P = (1,1) e é paralela à reta y = -2x + 5?
2.
Sejam A = (1,2) e B = (-3,-4). Qual é o ponto de abcissa 2 sobre a reta que passa pelo ponto C = (5,6) e é perpendicular a AB?
3.
Os lados de um triângulo estão sobre as retas y = 2x + 1, y = 3x - 2 e y = 1 - x. Determine os vértices desse triângulo.
4.
Os pontos A = (2,5) e A= (14,1) são simétricos em relação a uma reta. Determine a equação dessa reta.
5.
Determine os pontos que pertencem à reta y = 2x + 1 e estão situados à distância 2 da origem.
6.
Dado um paralelogramo ABCD, escolha um sistema de coordenadas OXY adequado e use-o para provar que as diagonais do paralelogramo cortam-se mutualmente ao meio.

Aula 8

1.
Sob a forma ax + by = c, escreva a equação da reta perpendicular à reta 3x + 2y = 5 que passa pelo ponto P = (-1,-2).
2.
Sejam p e q tais que pq0. Escreva, sob a forma ax+by = 1, a equação da reta que corta os eixos OX e OY nos pontos P = (p,0) e Q = (0,q), respectivamente.
3.
Qual é o ponto de ordenada 3 na reta paralela a 3x - 2y = 2 tirada pelo ponto A = (5,-1)?
4.
Em que ponto a reta ax + by = c corta o eixo OX? E o eixo OY ?
5.
Dado que b0, exiba pontos com abcissas 2, 3 e 4 sobre a reta ax + by = c.

Aula 9

1.
Obtenha equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto (2,3) e é perpendicular à reta 5x - 3y = 2.
2.
Determine a e b de modo que as equações x = at+1 e y = bt+5 sejam uma representação paramétrica da reta y = 2x + 3.
3.
Escreva uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos (7,-2) e (3,4).
4.
Determine uma representação paramétrica para a reta 5x - 2y = 1.
5.
A reta definida pelas equações paramétricas x = 2t + 7 e y = 3t + 8 forma um ângulo agudo α com a reta 5x + 11y = 6. Determine α.
6.
Escreva, sob a forma ax + by = c, a equação da reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45o com a reta (12)x + (√--
 32)y = 1.
7.
Qual é o raio da circunferência que tem centro no ponto P = (4,1) e é tangente à reta 3x + 7y = 2?

Sugestão: (i) Que condição define uma circunferencia com centro em P? (ii) Em quantos pontos uma reta e uma circunferência podem se intersectar? E no caso em que a reta é tangente à circunferência?

Aula 10

1.
Qual é a distância da origem à reta 5x - 2y = 8?
2.
Os vértices do triângulo ABC são A = (2,1), B = (1,4) e C = (5,5). Qual é o comprimento da altura baixada de A sobre a base BC?
3.
Determine a distância do ponto P = (3,1) à reta x + 2y = 3. Seja δ essa distância. Determine o ponto Q = (x,y) sobre a reta tal que d(P,Q) = δ.
4.
Calcule a distância do ponto (-2,3) à reta cujas equações paramétricas são x = 2 - 3t e y = 1 - 4t para t .
5.
Determine as equações das retas paralelas à reta 3x- 4y = 1 situadas à distância 5 dessa reta?
6.
Calcule a área do triângulo cujos vértices são intersecções de duas das retas x + y = 0, x - y = 0 e 2x + y = 3.
7.
Calcule a área do pentágono cujos vértices são os pontos (-2,3), (-1,0), (1,0), (2,3) e (0,5).

Aula 11

1.
Esboce o gráfico do conjunto das soluções de cada uma das desigualdades a seguir:
(a)
y x2.
(b)
x2 + y2 1.
(c)
x2 + 2y2 1.
(d)
|x| + |y|≤ 1.

Aula 12

1.
Dados os pontos A = (2,4), B = (3,1) e C = (5,3), obtenha as equações das retas mediatrizes dos segmentos AB e BC e determine as coordenadas da interseção dessas retas. A partir daí, ache a equação da circunferência que passa por A, B e C.

Sugestão: Use o seguinte teorema: Sejam P, Q e R os três vértices de um triângulo. Temos as seguintes propriedades: (i) As mediatrizes dos três lados se encontram em apenas um ponto. (ii) Existe apenas uma circunferência que passa pelos pontos P, Q e R, e o centro dessa circunferência é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados.

2.
Qual é a equação da circunferência que passa pelos pontos A = (1,2) e B = (3,4) e tem centro sobre o Eixo OY ?
3.
Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto P = (2,5) e é tangente à reta y = 3x + 1.
4.
Fixado a, quais devem ser os dois valores de b para os quais a reta y = ax + b, de inclinação a, seja tangente à circunferência de centro O e raio r?

Aula 13

1.
Completando os quadrados, decida se cada uma das equações listadas abaixo define uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio:
(a)
2x2 + 2y2 - 3x + y - 1 = 0.
(b)
-x2 - y2 + 6x - 4y + 3 = 0.
(c)
x2 + y2 - 10x + 2y + 26 = 0.
(d)
4x2 + 4y2 - 4x - 8y + 21 = 0.

Aula 15

1.
Sejam AA, BBe CCsegmentos de reta no plano. Suponha que AA é equipolente a BBe que BBé equipolente a CC. Prove que AAe CCsão equipolentes.
2.
Prove geometricamente que um quadrilátero é um parelelogramo se e somente se suas diagonais se cortam mutuamente ao meio.
3.
Seja Tv : Π Π a translação pelo vetor v no plano Π. Se Tv(A) = A, Tv(B) = Be Tv(C) = C, prove que os ângulos BÂC e BÂCtêm a mesma medida.

Aula 16

1.
Considere o triangulo ABC com vértices A = (-8,6), B = (-8,9) e C = (-4,6). Seja Tv a translação determinada pelo vetor v = (9,-4). Determine os vértices A, Be Cdo transladado de ABC por v.
2.
Considere os vetores u = (3,-2), v = (0,1) e w = (-1,5). Calcule 2u - v + 3w. Calcule a primeira coordenada de 3u - w.

Aulas 17 e 18

1.
O que você pode afirmar sobre o ângulo entre dois vetores que não são linearmente independentes?
2.
Considere o vetor v = (-2,3). Dê um exemplo de vetor w tal que v e w sejam colineares? Dê um exemplo de w tal que v e w sejam linearmente independentes?
3.
Exprima o vetor w = (1,1) como combinação linear de u = (-2,1) e v = (1,-1).
4.
Seja ABCD um quadrilátero. Se E é o ponto médio do lado AB e F é o ponto médio do lado oposto DC, prove que --→
EF = 1
2(--→
AD + --→
BC).
5.
Sejam u e v vetores quaisquer. Mostre que os vetores |u|v e |v|u têm o mesmo comprimento.
6.
Mostre que se os vetores u e v têm o mesmo comprimento, então u+v e u - v são ortogonais. E se u + v e u - v são ortogonais, u e v têm o mesmo comprimento?
7.
Dado o paralelogramo ABCD, se u = --A→B e v = -A→C, então --A→D = u+v e --→
BC = v-u. Prove que |u-v|2+|u+v|2 = 2|u|2+2|v|2. Conclua que em todo paralelogramo a soma dos quadrados das diagonais é iqual à soma dos quadrados dos quatro lados.
8.
Prove as seguintes propriedades do comprimento de um vetor:
(a)
|v| = 0 se e somente se v = 0.
(b)
|v + w|≤|v| + |w|.
(c)
|tv| = |t||v| para todo t .
(d)
|- v| = |v|.
9.
Sejam A, B e C pontos do plano. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a)
--→
AB,-→
AC= |--→
AB|2.
(b)
As retas AB e BC são perpendiculares.
10.
Dados os vetores u e v com u0. Prove que o vetor w = v -⟨v,u⟩
⟨u,u⟩u é perpendicular a u.
11.
Sejam u e v vetores não-colineares. Se um vetor w é tal que w,u= 0 e w,v= 0, mostre que w = 0.

Aula 19

1.
Seja P = (x1,y1) um ponto da elipse  2
xa2 + y2
b2 = 1. Prove que a reta cuja equação é xa12x + yb12y = 1 tem apenas o ponto P em comum com a elipse. Essa reta é chamada a reta tangente à elipse no ponto P.
2.
Quais são as retas tangentes à elipse x2 +4y2 = 32 que têm inclinação igual à 12?
3.
Quais são as coordendas dos focos da elipse 4x2 + 8y2 = 12?

Aula 20

1.
Para todo ponto P = (m,n) da hipérbole x2
a2 -y2
b2 = 1, mostre que a reta m-
a2x--n
b2y = 1 tem apenas o ponto P em comum com a hipérbole. Essa reta é chamada a reta tangente à hipérbole no ponto P.
2.
Quais são as coordenadas dos focos da hipérbole x2-
9 -y2
 4 = 1?
3.
Cada uma das equações a seguir representa o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um par de retas paralelas, ou um par de retas que se cortam na origem. Decida cada situação e determine as retas se for o caso.
(a)
3x2 - 5y2 = 0.
(b)
3x2 = 1.
(c)
5y2 = -1.
(d)
3x2 + 5y2 = 0.
(e)
5y2 = 0.
4.
O eixo de uma hipérbole mede 6 e seus focos situados no eixo OY são F= (0,-4) e F = (0,4). Qual é a equação dessa hipérbole?
5.
Dizemos que uma reta é tangente a uma parábola quando elas têm um único ponto em comum e a reta não é paralela ao eixo OY . Prove que a reta y = 7x - 3 é tangente à parábola y = x2 + 3x + 1 no ponto (2,11).
6.
Determine α e β de modo que a reta y = αx + β seja tangente à parábola y = x2 - 2x + 5 no ponto (-1,8).
7.
Uma parábola de eixo vertical passa por A = (-2,19), B = (3,4) e C = (5,26).
(a)
Qual é a equação dessa parábola?
(b)
Como ficaria a resposta do item (a) se a ordenada de C fosse -2 em vez de 26?

Aulas 21 e 22

1.
Uma mudança de eixos no plano manteve a origem fixa, enquando as coordenadas dos pontos (1,0) e (0,1) passaram a ser (a,b) e (c,d), respectivamente. Quais são as novas coordenadas do ponto (2,3)?
2.
Determine a translação de eixos que elimina os termos x e y na equação 9x2 +4y2 +18x+24y = 26 e permite assim reconhecer a curva que ela representa.
3.
Efetue uma rotação de -60o nos eixos OX e OY e com isso identifique a curva 31x2 + 21y2 + 10√3--xy = 144.
4.
Efetue a rotação de eixos dada por x = as - bt e y = bs + at onde a = cosθ e b = sinθ. Como fica, nas novas coordenadas s e t, a equação da circunferência (x-m)2 +(y -n)2 = r2 (onde m e n são constantes dadas)?

Aula 24

1.
Para cada uma das formas quadráticas abaixo, execute as seguintes tarefas:
(a)
Escreva sua matriz e sua equação característica.
(b)
Obtenha seus autovalores.
(c)
Descreva suas linhas de nível.
(d)
Calcule autovetores unitários u e v.
(e)
Ache os novos eixos em cujas coordenadas a forma quadrática se exprime como As2 + Ct2.
(f)
Determine os focos da cônica As2 + Ct2 = 1 em termos das coordenadas x e y.

As formas quadráticas são as seguintes:

(a)
φ(x,y) = x2 + xy + y2.
(b)
φ(x,y) = xy.
(c)
φ(x,y) = x2 - 6xy + 9y2.
(d)
φ(x,y) = x2 + xy - y2.
(e)
φ(x,y) = x2 + 2xy - 3y2.
(f)
φ(x,y) = x2 + 24xy - 6y2.

Aulas 25 e 26

1.
Para cada uma das equações abaixo, identifique detalhadamente a curva que ela define e a mudança de coordenadas que permitiu essa conclusão.
(a)
36x2 + 24xy + 29y2 - 120x + 10y - 55 = 0.
(b)
17x2 - 312xy + 108y2 - 590x - 120y + 688 = 0.
(c)
9x2 - 24xy + 16y2 + 10x - 55y + 171 = 0.
(d)
6x2 - 5xy + y2 - 17x + 7y + 8 = 0.
(e)
x2 - xy + y2 - 7x + 5y + 14 = 0.
(f)
3x2 + 6xy + 3y2 - 9x - 6y + 6 = 0.

Aulas 27 e 28

1.
Em cada um dos casos a seguir, determine a imagem do vetor v sob a rotação de ângulo θ em torno da origem.
(a)
v = (2,-3) e θ = 90o.
(b)
v = (-5,2) e θ = 180o.
(c)
v = (√--
 3,1) e θ = 30o.
2.
Determine se a matrix
[   -     ]
 - √3-  1
   21   √23-
   2   -2-

pode ou não ser a matriz de uma rotação em torno da origem.

3.
Determine a matriz da rotação que leva os vetores (3,4) e (1,-2) nos vetores (-4,3) e (2,1), respectivamente.
4.
Seja R : 2 2 uma rotação em torno da origem. Use as equações que fornecem as coordenadas de Rv para mostrar que Ru,Rv= u,vpara quaisquer u e v em 2.
5.
Se M = [a  b]

 c  d é a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que os vetores-coluna de M são unitários e ortogonais.
6.
Determine os eixos da elipse que é a imagem da circunferência unitária por cada uma das seguintes transformações lineares:
(a)
T(x,y) = (x + 2y,2x + y).
(b)
T(x,y) = (x + 2y,3x + 2y).
7.
Seja T : 2 2 definida por T(x,y) = (4x + 6y,6x + 9y). Mostre que todos os pontos da reta 2x + 3y = 1 são transformados por T no mesmo ponto de 2. Qual é esse ponto?
8.
Considere o quadrado ABCD onde A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1) e D = (0,1). Considere a transformação T(x,y) = (2x + 3y,4x + 5y). Qual é a área do paralelogramo no qual é transformado ABCD por T?
9.
Dados u = (1,2), v = (3,4), u= (5,6) e v= (7,8). Determine uma transformação linear T : 2 2 tal que Tu = ue Tv = v.
10.
Calcule os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
(a)
[    ]
  2 0
  1 3 .
(b)
[    ]
  2 1
  0 1 .
(c)
[    ]
  1 3
  0 1 .

Aula 29

1.
Identifique geometricamente os seguintes conjuntos:
(a)
A = {(x,y,z) 2|x2 + y2 = 1}.
(b)
B = {(x,y,z) 2|z2 + 2z = 3}.
(c)
C = {(x,y,z) 2|x = y}.
2.
Escreva a equação do plano vertical que passa pelos pontos P = (2,3,4) e Q = (1,1,758).
3.
Escreva a equação geral de um plano vertical.

Aula 30

1.
Obtenha equações paramétricas para a reta AB nos seguintes casos:
(a)
A = (2,3,4) e B = (5,6,7).
(b)
A = (-3,1,2) e B = (6,0,-2).
(c)
A = (2,5,1) e B = (3,5,1).
2.
Mostre que as equações paramétricas
x = 1 + 2t,  y = 2+ 6t,  z = 3+  4t,  t ∈ ℝ

e

x′ = 2 + s, y′ = 5 + 3s, z′ = 5 + 2s, s ∈ ℝ

definem a mesma reta.

3.
Prove que as retas dadas pelas equações paramétricas
x = - 2+  2t,  y = 2 - 3t,  z = - 3 + t, t ∈ ℝ

e

 ′           ′           ′
x  = 1+ s,  y  = 2- s,  z  = 3+ 2s,  s ∈ ℝ

não têm pontos em comum e não são paralelas. São, portanto, retas reversas.

4.
Dados A = (1,2,3) e B = (4,5,6), determine o ponto de intersecção da reta AB com o plano Πxy, com o plano Πxz e com o plano Πyz.
5.
Considere os pontos A = (3,5,2), B = (-1,-1,4) e C = (2,1,5). Determine equações paramétricas para a reta paralela a AB que passa por C.
6.
Escolhendo o sistema de eixos adequado, mostre que, dados dois pontos A e B e uma constante c, o conjunto dos pontos P do espaço tais que d(P,A)2 - d(P,B)2 = c é um plano perpendicular à reta AB.
7.
Determine a interseção da esfera x2 + y2 + z2 = 8 com o conjunto
                      ∘ -------
C  = {(x,y,z) ∈ ℝ2 |z =  x2 + y2}.

Esboce geometricamente a situação.

Aulas 32 e 33

1.
Dados os vetores w = (βγ′-γβ,γα′-αγ,αβ′-βα), v = (α) e u = (α,β,γ), calcule os produtos internos u,we v,w. Qual relação entre u e v implica w = 0?
2.
Seja u = (a,b,c) um vetor unitário com abc0. Considere os vetores v = (-bt,at,0) e w = (act,bct,-1∕t). Determine o valor de t para que os vetores u, v e w sejam unitários e mutuamente ortogonais. A condição abc0 pode ser omitida?
3.
Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
4.
Considere as retas r1 = {A + sv|s } e r2 = {B + tw|t }, onde A e B são pontos e v e w são vetores. Prove que r1 = r2 se e somente se os vetores --→
AB e w são múltiplos de v.
5.
Sem usar coordenadas, explique o significado das seguintes afirmações: (a) os vetores u e v são ortogonais; (b) o vetor v é ortogonal à reta r; (c) o vetor v é ortogonal ao plano Π; (d) os vetores u e v são colineares; (e) os vetores u, v e w são coplanares.
6.
Sejam v1, v2 e v3 vetores não coplanares. Se o vetor w é tal que w,v1= 0, w,v2= 0 e w,v3= 0, prove que w = 0.

Aula 36

1.
Obtenha uma equação para o plano que contém P e é perpendicular ao segmento de reta AB nos seguintes casos:
(a)
P = (0,0,0), A = (1,2,3) e B = (2,-1,2).
(b)
P = (1,1,-2), A = (3,5,2) e B = (7,1,12).
(c)
P = (3,3,3), A = (2,2,2) e B = (4,4,4).
(d)
P = (x0,y0,z0), A = (x1,y1,z1) e B = (x2,y2,z2).
2.
Sejam A = (3,1,3), B = (5,5,5), C = (5,1,-2) e D = (8,3,-6). Mostre que as retas AB e CD são concorrentes e ache uma equação para o plano que as contém.
3.
Sejam A = (-1,1,2), B = (2,3,5) e C = (1,3,-2). Obtenha uma equação para o plano que contém a reta AB e o ponto C.
4.
Supondo que abc0, escreva a equação do plano que corta os Eixos OX, OY e OZ nos pontos (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c), respectivamente.
5.
Qual é a equação do plano tangente, no ponto P = (x0,y0,z0), à esfera com centro A = (a,b,c) e raio r?
6.
Ache as coordenadas do ponto do plano 2x + y - 2z = 12 que está mais próximo da origem.
7.
Sejam Π e Πplanos no espaço. Se Π e Πsão iguais ou concorrentes, a distância de Π a Πé zero. Suponha que Π e Πsejam paralelos. Então eles são descritos por equações ax + by + cz = d e ax + by + cz = dcom dd, respectivamente. Mostre que a distância entre Π e Π, denotada por d,Π), é dada por
                  ′
d(Π, Π′) = √--|d---d-|---.
            a2 + b2 + c2

(Sugestão: Considere a reta que passa pela origem e é perpendicular aos planos.) Seja P = (x0,y0,z0) um ponto qualquer no espaço, e seja d(P0,Π) a distância do ponto P0 ao plano Π. Use a fórmula para d,Π) para provar que

           |ax0 + by0 + cy0 - d|
d(P0,Π ) = ---√--2---2---2----.
                a + b +  c

(Sugestão: Considere o plano paralelo a Π que passa por P0.)

8.
Qual é o ponto do plano 2x - 3y + z = 5 mais próximo do ponto P = (1,3,1)?
9.
Escreva as equações paramétricas da reta que passa por P = (1,2,3) e é perpendicular ao plano x - 3y + 2z = 1.

Aulas 37 e 38

1.
Para cada um dos sistemas a seguir, decida se existem ou não soluções. No caso afirmativo, exiba todas as soluções do sistema em termos de um ou dois parâmetros independentes.
(a)
x + 2y + 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
(b)
2x - y + 5z = 3
4x - 2y + 10z = 5
(c)
6x - 4y + 12z = 2
9x - 6y + 18z = 3
2.
No sistema
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2,

admitindo que se tem três incógnitas (ou seja, que pelo menos um dos vetores (a1,a2), (b1,b2) e (c1,c2) seja diferente de zero), mostre que se a1b2 - a2b1 = 0, b1c2 - b2c1 = 0 e c1d2 - c2d1, então existe k0 tal que a2 = ka1, b2 = kb1, c2 = kc1 e d2 = kd1.

3.
Sejam A = (1,2,3), B = (3,-1,2), C = (4,3,-1) e D = (5,-15,6). Mostre que os vetores u = --→
AB, v = -→
AC e w = --→
AD são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A, B, C e D.
4.
No sistema a seguir, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m e n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos:
x - 2y - 3z = m
3x - 6y - 9z = n
- 2x + 4y + 6z = 1.
5.
Para quais valores de m e n o sistema a seguir possui solução?
x + y - z = 1
x + 2y - 2z = 3
3x + 3y + mz = n
6.
Para cada um dos sistemas a seguir, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver.
3x - 5y + 2z = 1     3x - 5y + 2z = 2

 4x - 3y + z = 2      4x - 3y + z = 1
2x - 7y + 3z = 4    5x - 12y + 5z = 6

 3x - 5y + 2z = 3    3x - 5y + 2z = 4

  4x - 3y + z = 4     4x - 3y + z = 3
6x - 10y + 4z = 5    5x - 7y + 3z = 2

Aula 39

1.
Resolva cada um dos sistemas a seguir:
  x- y + z = 1      x - y + z = 1
  x+ y - z = 1    x + 2y + 3z = 1

- x+ y + z = 1        2x-  4y = 3

 x - 2y + z = 1      x - 3y + z = 2
2x - y + 2z = 2      x - 2y - z = 1

  x + y + z = 1    2x - 4y - 2z = 2

2.
Aplique o processo de escalonamento a cada um dos sistemas a seguir e, a partir do resultado, identifique em qual dos oito casos da seção anterior o sistema se enquadra.
 x + 2y + 3z = 4   x - 2y + 2z = 3         3x - y + 2z = 5

 3x - y + 2z = 5     2x+ y - z = 4  x - (1 ∕3)y + (2∕3)z = 3
9x - 3y + 6z = 16 2x - 4y + 4z = 6        6x - 2y + 4z = 10

  x + y - 2z = 1  2x+ y - 3z = 1  3x + 2y + z = 4
3x + 3y - 6z = 2  3x+ 2y + z = 2  x + 2y + 3z = 4

2x + 2y - 4z = 3      x - 5z = 1  2x + y + 2z = 2

         6x+  2y + z = 2   4x - 2y + 3z = 2
     3x + y + (1∕2)z = 1     3x + y - 2z = 1

2x + (2∕3)y + (1∕3)z = 2∕3  x + 7y - 12z = - 1

Aula 40

1.
Calcule, se possível, o resultado das seguintes operações com matrizes:
(a)
⌊ 2  - 1⌋
⌈ 3   7⌉

  8  - 7 + ⌊ 1   - 1⌋
⌈ 0    2 ⌉

 - 5   1 .
(b)
[         ]
 1  1  - 8⌊   ⌋
   5
⌈  7⌉
  - 2 .
(c)
[            ]
 1  - 1  7  1⌊  1  - 1   0  1⌋
|               |
|⌈  3   1   - 5 8|⌉
  - 1  0    5  3
   0   0    0  1 .
(d)
[       ]
 3  2  5[17]

 13 .
(e)
[13  11 ]
  17 21 [1 - 1  5]
 2   3   7 .
(f)
[             ]
 - 1  0  1  - 7⌊ 1   0 ⌋
|- 1  1 |
|⌈ 3   5 |⌉

 - 7  11[ 1   - 1]
 - 1   1 .
2.
Sejam
     [    ]           [    ]          [ ]             [ ]
m  =  1  2 ,    m ′ =  1  2 ,    w =   1     e    0 =  0  .
      3  4             3  6            5               0

Determine as matrizes v = [ ]
 x
 y e v= [  ]
 x′
 y′ tais que mv = 0 e mv= 0.

3.
Sejam
    [          ]              [    ]
m =  - 3∕5  4∕5      e    I =  1  0 .
      4∕5   3∕5                0  1

Mostre que m2 = I. Determine os números α e β tais que a matriz p = αm + βI cumpra p2 = p e seja não-nula. A partir daí, encontre uma matriz não-nula q tal que pq = qp = 0.

4.
Sejam m = [0  1]

 2  3 e I = [1  0]

 0  1 . Resolva dois sistemas 2 × 2 para achar uma matriz p = [     ]
 x  z
 y  w tal que mp = I.
5.
Sejam
     [         ]             ⌊1  - 1⌋
m  =  1  3  - 3     e    p = ⌈1  - 1⌉ .
      7  0  - 1               2   4

Calcule mp e pm. O que você observou?

Aula 41

1.
Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
    ⌊        ⌋                                  ⌊           ⌋
      0  1  1           [cosθ  - sinθ]            8   - 1  9
A = ⌈ 1  0  1⌉ ,    B =                ,    C = ⌈ 3   1    8⌉ ,
      1  1  0            sinθ   cosθ              11  0   17

     ⌊3   2   1 ⌋                   ⌊ 3   2    1 ⌋
     ⌈          ⌉        T          ⌈            ⌉       2
D =   1   2  - 1  ,    D  ,    E =    7   11   5  ,     E .
      2  - 1  3                      - 3 - 2  - 1

2.
Calcule o valor de x que satisfaz a equação
   ( [           ] )
det   x - 3   x      = 6.
      x + 1  x+ 3

3.
Sejam
    ⌊         ⌋               ⌊       ⌋
      5  1  - 2                7  7  3
A = ⌈ 1  2  - 1⌉    e    B  = ⌈4  4  5⌉ .
      7  5   0                 6  7  8

Calcule det(AB), det(A) e det(B).

4.
Calcule o determinante da matriz de Vandermonde
⌊          ⌋
 m2   m   1
⌈n2   n   1⌉.
  p2  p   1

Sem calcular o determinante, mostre diretamente que se m, n e p são três números distintos então a matriz acima tem posto 3 (isto é, suas linhas são linearmente independentes).

Aula 42

1.
Dados u = (1,1,0), v = (-1,2,1) e w = (2,0,-1).
(a)
Calcule u × v e v × w.
(b)
Calcule (u × v) × w e u × (v × w).
(c)
O produto vetorial é uma operação associativa? Justifique sua resposta.
2.
Ache um vetor unitário ortogonal a u = (2,1,2) e v = (1,2,-1).
3.
Sejam u = (1,-2,4), v = (6,1,-1) e w = (-1,2,1). Determine r = (x,y,z) tal que r seja ortogonal à w e obedeça a equação u × r = v.
4.
Sejam A = (1,-1,2), B = (-2,1,3) e C = (2,-1,1). Calcule a área do paralelogramo que tem os segmentos AB e AC como lados.
5.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos A = (1,-1,2), B = (1,2,3) e C = (3,1,2).
6.
Escreva sob a forma ax + by + cz = d a equação do plano que passa pelo ponto A = (-7,2,5) e é paralelo aos vetores u = (3,2,4) e v = (1,0,4).
7.
Use o produto vetorial para obter as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = (1,2,3) sobre o plano que contém os pontos A = (5,6,0), B = (0,2,2) e C = (1,0,4).

Referências

[1]   Serge Lang and Gene Murrow, Geometry, Second edition, Springer, 1980.

[2]   Elon L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear, Segunda Edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2015.

[3]   Dorival A. de Mello e Renate G. Watanabe, Vetores, Segunda Edição, Livraria da Física, 2012.